Blog de Mecânica Quântica 1 da Pós - 2012.2

Hoje devolvi as listas 7 e 8 corrigidas. Resolvemos os problemas da lista 9, e revisitamos os problemas mais complicados das listas 7 e 8. Na segunda-feira 17/12 estarei na minha sala à tarde para tirar dúvidas; na quarta 19/12 teremos nossa 3a prova a partir das 10h. Bom estudo!

Hoje discutimos a teoria de perturbação independente do tempo, para o caso de níveis de energia degenerados.

• Assumimos que o estado perturbado pode ter componente grande em todos os estados degenerados, ou quase. Isso muda a forma da expansão do auto-estado, e leva a uma expressão diferente para as correções de energia até segunda ordem de teoria da perturbação. Vimos que temos que montar uma matriz Hermitiana (que chamamos de Hamiltoniana efetiva), cujos autovalores nos dão as correções de energia até segunda ordem.
• Exemplos: Hamiltoniana simples de 3 níveis; efeito Stark linear. Nesse segundo exemplo as regras de seleção associadas à simetria de paridade facilitaram nosso cálculo da Hamiltoniana efetiva.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 6, páginas 9 a 14.

Hoje começamos a discutir a teoria de perturbações independentes do tempo.

• Definição do que queremos fazer: encontrar aproximações para autovalores e autovetores de uma Hamiltoniana perturbada “próxima” de uma Hamiltoniana não-perturbada que sabemos resolver. Encontramos os autovetores até primeira ordem no parâmetro perturbativo, e autovalores até segunda ordem.
• Aplicações: efeito Stark quadrático; poço infinito 1D com função delta no meio; OH com constante elástica ligeiramente alterada. Sabemos resolver este último exemplo exatamente, o que nos permitiu comparar os autovalores de energia obtidos perturbativamente com a solução exata.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 6, páginas 1 a 8.

Atendendo a pedidos, uma dica para a solução do problema 3 da lista 8. No item a), vocês precisam usar um resultado conhecido sobre a (não) degenerescência de problemas com potenciais unidimensionais; no item b) basta analisar um exemplo, o caso do operador p de uma partícula livre, juntamente com o operador paridade.

• Paridade: vimos como funciona a quebra espontânea de simetria no exemplo do poço quântico duplo. Quando o a energia do estado fundamental passa a ser degenerada, os auto-estados correspondentes passam a não ser mais auto-estados de paridade. Podemos então, por exemplo, observar a partícula localizada em um dos poços, embora o potencial seja par.
• Vimos outra consequência da simetria de paridade, que são regras de seleção para elementos de matriz da posição, e de outros observáveis com paridade definida.
• Simetrias por translações discretas: consequências. Vimos que auto-estados de energia são um produto de uma onda plana e de uma função com a periodicidade do potencial. Este é o teorema de Bloch, e tem aplicações em toda a matéria condensada, onde elétrons sentem um potencial periódico criado pelos íons da rede cristalina.
• Este semestre não discutimos a simetria de reversão temporal; para quem tiver interesse, vejam as notas de aula do capítulo 5, páginas 11 a 20.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 5, páginas 8 a 10 e duas páginas sobre o teorema de Bloch.

Hoje começamos a estudar simetrias.

• Relembramos como simetrias aparecem nos formalismos Lagrangeano e Hamiltoniano. Na MQ, vimos que uma quantidade conservada é um operador Hermitiano que comuta com a Hamiltoniana; se a Hamiltoniana é invariante por uma transformação, então o gerador dessa transformação será uma quantidade conservada.
• Vimos como a degenerescência de um nível de energia está ligada às simetrias da Hamiltoniana.
• Estudamos a simetria de paridade, ou inversão espacial. Propriedades do operador de paridade; como se transformam p, x, J. Autofunções do operador de paridade (exemplo: harmônicos esféricos).
• Provamos um teorema que diz que auto-estados não degenerados de energia de um Hamiltoniano invariante por paridade devem ser auto-estados de paridade também.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 5, páginas 1 a 8.

• Começamos aprendendo a usar uma tabela de coeficientes de Clebsch-Gordan para resolver dois problemas simples de adição de momento angular.
• Em seguida vimos o que define um operador escalar (invariância dos valores esperados por rotações) e vetorial (valores esperados se transformam como vetores clássicos). Vimos que os componentes de grandezas vetoriais têm que satisfazer uma regra de comutação simples com os componentes do momento angular. Provamos um teorema, e o usamos para obter regras de seleção para grandezas vetoriais, indicando um grande número de elementos de matriz de grandezas vetoriais que têm que ser nulos.
• O resultado que obtivemos é um exemplo simples de um teorema mais geral, conhecido como teorema de Wigner-Eckart, que diz como podemos calcular os elementos de matriz de operadores vetoriais e tensoriais, usando o operador de momento angular.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 4, páginas 28c a 34. As páginas seguintes das notas descrevem um caso simples do teorema de Wigner-Eckart, mas não cobriremos isso neste semestre.

• Vimos a relação entre harmônicos esféricos e matrizes de rotação.
• Vimos o que é o problema de adição de momento angular em mecânica quântica. Trata-se de encontrar os operadores correspondendo ao momento angular de um sistema composto; como seus autovetores se relacionam aos dos operadores de momento angular dos subsistemas que o compõem; e como calcular probabilidades de encontrar qualquer autovalor em medidas do sistema global, dada uma preparação de auto-estados dos subsistemas, e vice-versa. Resolvemos o problema passo-a-passo para dois sistemas de spin 1/2, e discutimos como formular o problema geral.
• Vimos algumas propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan (as amplitudes de probabilidade associadas às probabilidades mencionadas acima).

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 4, páginas 20 a 27.

• Vimos que o cálculo do operador de rotação para certo valor de j se reduz ao cálculo da representação matricial do operador de rotação em torno de um eixo fixo, no caso que vimos em sala, o eixo y.
• Como exemplos, calculamos as matrizes que representam rotações gerais num sistema de spin 1/2 e num sistema de spin 1.
• Momento angular orbital: definição, mostramos que satisfaz as relações fundamentais do momento angular, e que transforma os kets de maneira compatível com rotações. Obtivemos as equações diferenciais que representam as ações dos operadores L_z e L^2 sobre as funções de onda. Os harmônicos esféricos são a parte angular dessas autofunções. Encontramos a forma explícita dos harmônicos esféricos, e encontramos também algumas de suas propriedades. Discutimos duas razões para o número quântico l não poder ser semi-inteiro no caso do momento angular orbital, como pode acontecer no caso de spin.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 4, páginas 14 a 20.

Como discutimos em sala, haverá algumas mudanças no nosso cronograma de aulas e provas nesse fim de ano. Teremos aulas extras nas segundas-feiras 26/11, 10/12 e 17/12 (esta última uma aula de revisão antes da P3), com a P3 no dia 19/12 às 10h. Devido a uma viagem acadêmica que farei, não teremos aula nos dias 5/12 e 7/12.

• Vimos que o operador de evolução temporal de um spin em campo magnético constante é, ao mesmo tempo, o operador de rotação em torno do eixo do campo magnético. Fizemos o cálculo de duas formas; uma delas, a que usa a fórmula de Baker-Hausdorf-Campbell, serve para mostrar que os valores esperados dos componentes de spin giram, independentemente de que spin (ou seja, este cálculo não requer que seja um spin 1/2).
• Encontramos os autovalores de J^2 e J_z, usando somente a relação de comutação fundamental do momento angular.
• Representação irredutível do operador de rotação: é a representação na base {j,m}, de auto-estados de J^2 e J_z. Nessa base o operador de rotação (em qualquer dimensão, ou seja, para qualquer valor de j) tem uma forma diagonal por blocos, que não pode ser simplificada ainda mais (daí o termo “irredutível”).

O que vimos corresponde às notas de aula do capítulo 4, páginas 5 a 14.

• Transformações de calibre na MQ: como as três quantidades relevantes mudam (potencial escalar, potencial vetor e função de onda).
• Vimos que com as três mudanças a equação de Schrodinger continua válida, ou seja, a dinâmica quântica é invariante por transformações de calibre. Vimos que o momento mecânico é invariante de calibre, mas (como consequência), o momento canônico não é. Só quantidades invariantes por calibre têm importância física e são mensuráveis experimentalmente.
• Efeito Aharonov-Bohm. Subfeixes de elétrons que se propagam externamente a um solenóide mostram um comportamento de interferência, quando recombinados, que depende do fluxo do campo magnético no interior do solenóide. Notem que os elétrons nunca passam por uma região em que haja qualquer campo elétrico ou magnético. O efeito é proporcional ao invariante de calibre que é o fluxo magnético no solenóide. Isso é um exemplo da não-localidade quântica: elétrons têm seu comportamento modificado pelo que é feito em regiões onde a função de onda se anula.
• Introdução ao momento angular. Vimos que rotações no espaço tridimensional não comutam. Definimos o momento angular como o gerador do grupo de rotações, e vimos que a consequência da não-comutação de rotações são as relações de comutação dos componentes do momento angular, de onde sai toda a teoria que estudaremos nas próximas aulas.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 36 a 41; e cap. 4, páginas 1 a 4.

• Novo tema: potenciais e transformações de calibre. Começamos estudando o caso simples de o que acontece quando somamos uma constante arbitrária a um potencial na MQ. Surge uma fase global em todos os estados quânticos, que não tem consequências observacionais.
• Embora uma constante arbitrária no potencial não seja observável, se um feixe de partículas for dividido e cada subfeixe passar por regiões com potenciais diferentes, a diferença vai aparecer quando o feixe for recombinado. Ou seja, diferenças de fase são observáveis (não correspondem mais a uma fase global, mas a fases diferentes aplicadas em subsistemas diferentes).
• Observando efeitos gravitacionais na MQ. Além do efeito óbvio de queda livre, vimos que subfeixes que se propagam a alturas diferentes levam a diferenças de fase por causa da diferença de potencial gravitacional. Quando recombinados isso é observável, e de fato foi observado em 1975 por Colella et al.
• Transformações de calibre. Lembramos como funcionam no eletromagnetismo clássico. Na MQ, vimos que a derivada do valor esperado de x(t) não é o momento canônico (dividido pela massa), mas 1/m vezes o momento cinemático (ou mecânico). Isso já é uma pista do que veremos mais adiante, que o momento canônico não é um observável nesse tipo de sistema - os observáveis devem ser invariantes de calibre.
• Revisamos como a equação de continuidade é obtida na mecânica quântica, e vimos como ela é modificada pela presença de um campo EM.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 29 a 35.

• Estados coerentes do oscilador harmônico. Resolvemos novamente o oscilador harmônico clássico, com uma escolha de variáveis que facilita a quantização. Vimos que impor que os valores esperados quânticos sigam a trajetória clássica oscilante de um oscilador harmônico no espaço de fase é equivalente a impor que o estado seja um auto-estado (com autovalor complexo ) do operador de aniquilação .
• Vimos que a distribuição de probabilidades associadas a medidas de energia em um estado coerente é uma distribuição de Poisson.
• Vimos também que estados coerentes são o estado fundamental do OH, transladado no espaço de fase.
• Princípio de incerteza energia/tempo: vimos que tem uma forma parecida, mas é bem diferente do princípio de incerteza generalizado, já que o tempo não é um observável na MQ.
• Definimos o que significa (grosso modo, o tempo para que um dado observável tenha uma variação significativa do seu valor esperado), e provamos rigorosamente o princípio de incerteza energia/tempo. Em seguida vimos duas aplicações.

O que vimos hoje corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 23 a 26; páginas 14 e 15. Lembrete: como combinamos, na segunda-feira que vem (12/11) teremos uma aula extra às 10h, na nossa sala 403.

* Aqui vocês encontram um artigo de Paul Bush com um levantamento das dificuldades associadas à definição de um princípio de incerteza para tempo e energia.

As notas já estão disponíveis aqui.

Na aula de hoje discutimos vários problemas, principalmente das listas 4 e 5. Na próxima quarta-feira 31/10 teremos nossa segunda prova. Bom estudo!

Continuando o oscilador harmônico.

• Mostramos a razão dos operadores que definimos serem chamados de criação e aniquilação.
• Usamos as propriedades de para encontrar o espectro do operador número N, e portanto do Hamiltoniano.
• Obtivemos os elementos de matriz dos operadores , e dos operadores x e p, na base de autoestados de energia do OH. Com isso podemos calcular, por exemplo, valores esperados. Aliás, foi o que fizemos em seguida, obtendo as variâncias de x e p para o estado fundamental (comprovamos que é estado de incerteza mínima).
• A partir da ação do operador no estado fundamental, encontramos sua função de onda, Gaussiana. Em princípio, a partir dela podemos encontrar todos os estados excitados do OH, aplicando sucessivamente o operador de criação.
• Em seguida estudamos a dinâmica do OH, e encontramos x(t) de duas formas diferentes: usando as equações de movimento de Heisenberg para x e p; e usando o operador de evolução temporal.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 17 a 22.

Você pode explorar os auto-estados do OH usando esta simulação online, dá para ver auto-estados de vários problemas 1D, incluindo o OH, criar superposições e vê-las evoluindo, etc. As autofunções do OH bidimensional também são interessantes, vejam aqui.

• Descrições de Schrodinger e Heisenberg. Exemplo de operador evoluído por translação.
• Obtivemos a equação de movimento para os operadores na descrição de Heisenberg.
• Estudamos a partícula livre, obtendo as soluções x(t) e p(t) para os operadores na descrição de Heisenberg. Calculamos a relação de incerteza para o par x(t) e x(0), mostrando que a variância cresce com o tempo. Em seguida acrescentamos um potencial e de novo resolvemos para x(t) e p(t), obtendo o teorema de Ehrenfest, que mostra que os valores esperados em mecânica quântica seguem a dinâmica clássica dada pela 2a Lei de Newton.
• Vimos como os vetores-base também mudam na representação de Heisenberg (já que são autovetores de um observável que em geral muda).
• Oscilador harmônico quântico. Começamos escrevendo a Hamiltoniana em função de x e p, reescrevendo-a em função dos operadores e , que são combinações lineares adimensionais dos operadores x e p. Na próxima aula vamos encontrar os auto-estados e auto-valores de energia do oscilador harmônico quântico.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 7 a 13 e 16. Reparem que mudei um pouco a ordem de apresentação, veremos o princípio de incerteza energia/tempo somente depois da P2.

• Soluções da equação de Schrodinger (para o operador de evolução temporal). Vimos 3 casos: 1) Quando H é indep. de t; 2) quando H depende de t, mas H(t) comuta com H(t') para todo par de tempos; 3) H(t) com dependência temporal arbitrária. Encontramos a solução formal explícita para os dois primeiros casos; não trataremos do 3o, pois a solução é aproximada (série de Dyson). No que faremos no resto deste capítulo assumimos que H é independente de t.
• Vimos que os auto-estados de energia não mudam no tempo; e que por isso, os valores esperados de qualquer observável para os autoestados de energia não mudam também; por isso esses autoestados são também chamados de estados estacionários.
• Se tivermos superposições dos auto-estados de energia, então surge uma dependência temporal dos valores esperados dos observáveis. As frequências características dessa dependência temporal são relacionadas às diferenças de energias do sistema.
• Tratamos da precessão de um spin 1/2 em campo magnético constante. Encontramos o operador de evolução temporal e vimos que os valores esperados dos componentes do momento angular descrevem um movimento de precessão em torno do campo magnético.
• Introdução às duas descrições alternativas da dinâmica quântica: a de Schrodinger e a de Heisenberg.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 2 a 7. OBS.: a lista 5 já está disponível.

• Descrevendo subsistemas com operadores densidade: como o estado de um subsistema pode ser um estado misto, mesmo quando o estado do sistema completo é puro.
• Definimos a matriz densidade reduzida de um subsistema e vimos como calculá-la fazendo o traço parcial sobre a matriz densidade do sistema completo. Vimos um exemplo desse cálculo.
• Se o estado global é puro mas a matriz densidade de alguma parte é um estado misto, então é porque o estado é emaranhado.
• Dinâmica quântica. Encontramos o operador de evolução temporal de forma similar à que encontramos outros operadores de transformações contínuas dos vetores de estado. Se soubermos calcular o operador de evolução temporal de um sistema, sabemos calcular como ele estará em qualquer ponto no futuro, dado o estado inicial.
• O operador de evolução temporal satisfaz uma equação diferencial para operadores, que encontramos. Aplicando os operadores dessa equação em um ket, obtivemos a equação de Schrodinger para vetores de estado. Ou seja, a equação de Schrodinger para estados é consequência da equação de Schrodinger para o operador de evolução temporal.

O que vimos corresponde à notas de aula do cap. 2, páginas 13 a 15, e cap. 3, páginas 1 e 2.

• Desigualdades de Bell. Começamos obtendo a desigualdade CHSH, sobre produtos de variáveis que só podem assumir os valores +1 ou -1. Considerando um grande número de conjuntos de 4 variáveis assim, encontramos uma versão da desigualdade válida para valores médios dos produtos dessas desigualdades. Essa é a desigualdade CHSH, um exemplo simples de uma desigualdade de Bell.
• Em seguida discutimos um cenário em que são feitas medidas em dois sistemas afastados, com resultados dicotômicos. Vimos que se duas hipóteses valeres, os resultados devem satisfazer a desigualdade CHSH. As hipóteses são: os valores revelados estavam pré-definidos (realismo); e a medida feita por A não afeta o resultado de B, e vice-versa (localidade).
• Em seguida descrevemos medidas sobre pares emaranhados que violam a desigualdade CHSH, logo violam as hipóteses acima. Esse resultado é muitas vezes chamado de não-localidade quântica. Vimos também que é fácil violar CHSH se houver comunicação entre as partes, e mudanças nos valores dos resultados dependendo dessa comunicação.
• Essa não-localidade é uma surpresa quântica que a diferencia de outras teorias físicas clássicas, e tem aplicações na área de informação quântica, como a criptografia quântica (ou troca quântica de chaves criptográficas) e o teletransporte quântico.

O que vimos corresponde às quatro novas páginas do capítulo 2 (entre as páginas originalmente numeradas 12 e 13).

Algumas referências:

- Neste artigo Mermin descreve uma prova diferente da não-localidade quântica, que ficou conhecida como resultado (ou paradoxo) GHZ-Mermin.
- Eu escrevi um livro de divulgação científica explicando as bases da computação quântica, que é uma proposta de usar efeitos curiosos da mecânica quântica (como o emaranhamento) para processar informação de maneira mais eficiente. Para os curiosos, nossa biblioteca tem dois exemplares do livro para empréstimo.
- O prêmio Nobel de Física de 2012 saiu hoje (9/10), para David Wineland e Serge Haroche, que demonstraram controle experimental de sistemas quânticos individuais, como fótons e íons armadilhados. Leiam mais sobre as suas realizações.

• Vimos como reconhecer a diferença entre estados puros e mistos, usando o traço do quadrado do operador densidade.
• Os operadores densidade formam um conjunto convexo.
• Exemplos de operadores densidade para um spin 1/2.
• Sistemas compostos e o produto tensorial de dois espaços de Hilbert.
• Estados emaranhados puros: estados que não são estados produto.

O que vimos corresponde às notas de aula do capítulo 2, páginas 6 a 12.

• Vimos brevemente como generalizar tudo que discutimos para o caso de partícula se movimentando no espaço tridimensional.
• Começamos um novo capítulo: formalismo do operador densidade.
• Vimos que o operador densidade é um objeto matemático prático para descrever uma mistura estatística de estados puros, tenham eles sido gerados por um processo natural (como a luz que vem do sol) ou artificialmente, por um físico experimental num laboratório.
• Vimos também que uma superposição quântica é bem diferente de uma mistura estatística.
• Propriedades do operador-densidade: 1- é Hermitiano; 2- é um operador positivo semi-definido; 3- seu traço é 1.
• Estados puros também podem ser representados por um operador densidade, no caso um projetor.
• Propriedades do espectro do operador-densidade: os autovalores são números positivos entre zero e um, e somam 1, ou seja, têm a interpretação de probabilidades. São as probabilidades associadas a uma preparação simples que gera a matriz-densidade (vimos que não há uma correspondência um-a-um entre preparações e matrizes-densidade, várias preparações diferentes podem corresponder à mesma matriz-densidade).

O que vimos hoje corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 56 a 57; e cap. 2, páginas 1 a 5.

Hoje discutimos os problemas da primeira prova. Em seguida:

• Obtivemos a forma do operador momento na base de posições.
• Discutimos como fica a representação da função de onda no espaço dos momentos, ou seja, a expansão do vetor de estado na base de auto-estados de momento.
• Vimos que as funções de onda no espaço das posições e dos momentos se relacionam por uma transformada de Fourier.
• Pacotes de onda Gaussianos: calculamos as variâncias de x e p e vimos que são funções de onda de incerteza mínima, ou seja, saturam o princípio de incerteza generalizado que derivamos. Vimos também como “apertando” um pacote (diminuindo a incerteza em x, por exemplo), leva a um alargamento da incerteza na variável conjugada (no caso, p).

O que vimos hoje correspondem às notas de aula do cap. 1, páginas 53 a 55.

As notas já estão disponíveis aqui.

Hoje resolvemos vários problemas das três primeiras listas e outros mais, como revisão para a prova da próxima sexta-feira, 21/9.

• Translações infinitesimais e seu efeito sobre auto-estados de x.
• Discussão mais geral de transformações contínuas de estados quânticos. Para preservar norma elas têm que ser unitárias ou anti-unitárias; mas transformações contínuas têm que ser unitárias. Vimos a forma da transformação infinitesimal em termos de um operador Hermitiano conhecido como o gerador da transformação. Encontramos também a forma das transformações finitas: , onde K é o gerador e s é o parâmetro da transformação.
• Calculamos o comutador de x com o operador de translação infinitesimal. Com isso, encontramos o comutador de x com o gerador K. Para recuperar a mesma forma das translações na mecânica clássica, K deve ser proporcional ao momento p, com constante de proporcionalidade com dimensão de 1/ação. Usamos para essa constante o inverso da constante de Planck, e encontramos a forma do operador de translação para estados quânticos em termos do operador de momento linear.
• Considerando translações finitas encontramos que os diversos componentes do momento linear comutam entre si; e encontramos a relação de comutação fundamental entre os operadores x e p. Com isso, nas próximas aula vamos encontrar a forma explícita do operador momento na base de auto-estados de x.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 45 a 50.

• Mudando de base: vimos como construir um operador unitário que leva os vetores de uma base ortonormal A nos vetores de outra base ortonormal B.
• Vimos como encontrar a representação matricial de um vetor e de um operador na base B, se conhecemos os mesmos na base A, usando o operador unitário de mudança de base correspondente.
• Propriedades do traço, uma função de operador que não depende da base (vocês provaram a propriedade cíclica do traço em uma lista, essas propriedades são consequência).
• Observáveis equivalentes: encontramos um observável equivalente a um observável A fazendo a transformação de A usando um unitário qualquer U. Provamos que observáveis equivalentes a A têm o mesmo espectro de A.
• Descrição de partículas: como generalizar os resultados matemáticos que obtivemos até agora para o caso de espaços de Hilbert descritos por parâmetros contínuos, como o necessário para descrever uma partícula em 1D ou 3D.
• Discutimos como funcionaria uma medida de posição numa partícula, usando os postulados que já conhecemos da MQ.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 37 a 44.

Lembrem da aula extra nesta segunda-feira 17/9. Também disponibilizei a lista 3, que não deve ser entregue - é só uma sugestão de problemas que vocês devem tentar fazer antes da prova, correspondentes a esse finzinho da matéria antes da P1. A aula de quarta-feira deve ser predominantemente de revisão: resolução de exercícios das listas e tira-dúvidas.

Hoje discutimos brevemente algumas dúvidas da lista, e em seguida provamos e discutimos a relação de incerteza generalizada.

• A relação de incerteza estabelece cotas para a variância estatística dos resultados de medidas independentes de dois observáveis - não é necessário que eles sejam medidos conjuntamente, cada um pode ser medido em um subensemble, desde que o estado dos dois sub-ensembles sejam o mesmo. Essa forma de entender o princípio da incerteza evita discussões improdutivas sobre a interpretação da teoria, e o debate sobre se uma medida afeta o valor (não-medido) da outra.
• Lembrem que a relação de incerteza depende do par de observáveis em questão e do estado quântico do sistema - essa dependência com o estado é muitas vezes negligenciada nos livros.
• Mais adiante encontraremos estados que saturam a desigualdade, eles são conhecidos como estados de incerteza mínima.

O que vimos hoje corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 34 a 36. Eu também gosto da forma que o Ballentine discute o princípio da incerteza, vejam a seção 8.4 do livro dele. O mesmo vale para a discussão breve na seção 7.3 do livro “Lectures on Quantum Theory” de Chris J. Isham.

Nas primeiras aulas tratamos de enunciar os principais postulados da mecânica quântica, enquanto fomos desenvolvendo os fundamentos matemáticos necessários para isso. Um resumo do que estudamos até agora:

• Experimento de Stern-Gerlach, inclusive em sequência.
• Postulado 1 (vetores-estado para descrição do estado de um sistema quântico). Propriedades de espaços vetoriais, produto interno. Vetores versus raios no espaço de Hilbert.
• Desigualdade de Schwarz, desigualdade triangular.
• Espaço vetorial dual ao dos vetores estados (kets): o espaço dos bras, funcionais lineares nos kets.
• Operadores lineares. Conjugado Hermitiano de um operador, produto externo de bra com ket, definição e propriedades de operadores Hermitianos. Base de autovetores de op. Hermitiano, relação de completeza.
• Projetores. Representação de operadores lineares por matrizes quadradas. Representação espectral de operadores.
• Exemplos usando spin 1/2.
• Postulado da medida. Valores esperados.
• Postulado do estado pós-medida, e seu enunciado usando projetores.
• Exemplos usando spin 1/2: encontrando os operadores e .
• Funções de operadores: como definir usando a expansão em série de funções.
• Observáveis compatíveis: têm autovetores comuns. Conjunto completo de observáveis que comutam.
• Observáveis incompatíveis: não têm base completa de autovetores comuns. Medidas sequenciais necessariamente mudam a estatística obtida.

O que vimos até agora corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 1 a 33b.